מדע בפרשה - מספרים גדולים

עיקר פרשת חיי שרה עוסק בשליחותו של אליעזר עבד אברהם לחרן, למצוא אישה מתאימה ליצחק, בנו של אברהם. אליעזר מוצא את רבקה, מעניק לה תשורות בצורת תכשיטים - נזם וצמידים (וזהו המקום הראשון בתורה בו מוזכרים תכשיטים. תכשיטים יוזכרו פעמים רבות בהמשך התורה. בעניין מתכות ותכשיטים בתורה עסקנו במאמר המצורף.) רבקה יוצאת לדרך חזרה עם אליעזר. כאשר נפרדו בני משפחתה של רבקה ממנה הם מברכים אותה בברכה הבאה (כ"ד ס): "וַיְבָרֲכוּ אֶת-רִבְקָה וַיֹּאמְרוּ לָהּ אֲחֹתֵנוּ אַתְּ הֲיִי לְאַלְפֵי רְבָבָה וְיִירַשׁ זַרְעֵךְ אֵת שַׁעַר שׂנְאָיו". הביטוי אלפי רבבה מציין לפחות את המספר 10,000,000 (ואפילו יותר מאחר והמילה אלפי היא ברבים. דעה מקובלת היא שדווקא הביטוי מתפרש כאלפים ורבבות ולא כהכפלה) ולמעשה רבבה הוא המספר הגדול ביותר במוזכר בתנ"ך (כמילה בודדת). במאמרנו נעסוק מעט במספרים גדולים, אך קודם לכן נציין כי הברכה לרבקה מזכירה מאד את ברכת ה' לאברהם לאחר עקדת יצחק וכנראה הייתה ברכה מקובלת באותם ימים (כ"ב יז): "כִּי-בָרֵךְ אֲבָרֶכְךָ וְהַרְבָּה אַרְבֶּה אֶת-זַרְעֲךָ כְּכוֹכְבֵי הַשָּׁמַיִם וְכַחוֹל אֲשֶׁר עַל-שְׂפַת הַיָּם וְיִרַשׁ זַרְעֲךָ אֵת שַׁעַר אֹיְבָיו".

בתורה שפע רב של מספרים, בפרשות בראשית ונח כבר נתקלנו בעשרות מספרים המתארים בעיקר שנות חיים ותחומם עד אלף, בתקופת התורה היו שיטות ספירה רבות ודווקא השיטה העשרונית לא הייתה בשימוש. השתמשו בספירה על בסיס 60 (בבבל) וגם בשיטות אחרות, גם שיטות הספירה העברית מבוססת על גימטריא ובה אותיות שונות מסמלות מספרים שונים ולמשל ב=2 כ=20 ר=200 ללא חשיבות למיקום באות במילה. כאשר יש מספרים גדולים מציינים אותם באלפים ואז ביחידות. אבל שונה שיטת כתיבת המספרים מתיאור המספרים ובתורה וגם בתנ"ך לא כתובים מספרים כלל אלא כל המספרים מתוארים במילים ותיאור זה דומה מאד לשיטה העשרונית של ימינו.
וַיִּהְיוּ חַיֵּי שָׂרָה מֵאָה שָׁנָה וְעֶשְׂרִים שָׁנָה וְשֶׁבַע שָׁנִים שְׁנֵי חַיֵּי שָׂרָה = מאה, עשרים, ושבע. מצורה זו בהחלט ניתן להסיק כי כתיבת המספר כמספר לא הייתה בצורה המוכרת לנו כיום, אולם הספירה שהתבצעה על בסיס עשר עדיין הפרידה בין האחדות לעשרות ולמאות (למשל באמצעות סימנים אחרים).


המספרים הגדולים ביותר המופיעים בתורה הם במניין בני ישראל במפקדים בספר במדבר ולמעשה עוד קודם לכן בפרשת פקודי (שמות ל"ח כו): "בֶּקַע לַגֻּלְגֹּלֶת מַחֲצִית הַשֶּׁקֶל בְּשֶׁקֶל הַקֹּדֶשׁ לְכֹל הָעֹבֵר עַל-הַפְּקֻדִים מִבֶּן עֶשְׂרִים שָׁנָה וָמַעְלָה לְשֵׁשׁ-מֵאוֹת אֶלֶף וּשְׁלשֶׁת אֲלָפִים וַחֲמֵשׁ מֵאוֹת וַחֲמִשִּׁים" 603550. זהו המספר הגדול ביותר המפורש, אולם הביטוי בפסוק שנאמר לרבקה, אלפי רבבה כבר גדול ממנו שכן רבבה היא עשרת אלפים, ואלפים הם ברבים ורואים שמספרים בגדלים אלו לא קיבלו שמות, אלא היה כל כך גדולים שלמעשה נחשבו אז לאינסוף, וכפי שראינו בברכה הכמעט זהה של ה' לאברהם, כוכבי השמים ייצגו את האינסוף.

עם השנים התעורר הצורך לטפל ולעסוק במספרים גדולים יותר ויותר. ארכימדס למשל רצה להעריך את מספר גרגרי החול שיידרשו למלא את היקום כולו והיה צריך לפתח שיטה משלו לרישום מספרים גדולים. בשיטה העשרונית הדבר קל מאין כמוהו, פשוט מוסיפים עוד אפסים בסוף המספר וכך נוצרו המיליון, הביליון, הטריליון וכו' (כאשר בי=2, טרי=3 וכו'). שיטות שונות למספור בעולם יצרו הבדלים בין מספרים אלו בעיקר באירופה ובארצות הברית והגדלים שונים. שיטת קיצור שונות והשימוש בחזקות פישטו עוד יותר את כתיבת המספרים הגדולים.
מספר גדול ידוע במיוחד הוא גוגל והוא 1 עם מאה אפסים אחריו או 10 בחזקת 100. חברת מחשבים ידועה (גוגל) קראה לעצמה על שם מספר זה, אולם עקב טעות כתיב, כתבה את שמה בצורה לא נכונה והשם הנכון למספר הוא googol, כתיב דומה אחר של המילה goggle מובנו בכלל משקפי שחייה. גוגל הוא אכן מספר גדול, למעשה הוא יותר גדול ממספר האטומים ביקום כולו, אולם מבחינה מתימטית זהו מספר קטן עד מאד. למשל המספר ששמו גוגלפלקס הוא מספר באמת גדול והוא 10 בחזקת גוגל. מספר זה הוא באמת בלתי ניתן לתפיסה וכמובן שאי אפשר לכתוב אותו כלל (מאחר וכמות הספרות בו גדולה ממספר האטומים ביקום). בכל מקרה, גם מספר פנטסטי זה הוא למעשה מספר קטן שכן רוב המספרים הטבעיים גדולים ממנו (מאחר ויש רק כמות סופית של מספרים קטנים ממנו, אך כמות אינסופית של מספרים גדולים ממנו, שכן תמיד ניתן להוסיף עוד אחד למספר). כמובן שכל המספרים האלו, גדולים ככל שיהיו אינם אינסוף, ואינם אפילו מתקרבים לאינסוף. קיראו כאן עוד על האינסוף. שימושים מתימטיים למספרים גדולים יש רק בהוכחות מתימטיות בהן לא ניתן להוכיח את הטענה באופן כללי עבור כל המספרים, אולם אפשר להוכיח אותה עד מספר גדול מאד מאד (ולמרות שבאופן מעשי זה כמעט אותו דבר, מבחינה מתימטית ההבדל גדול). שימושים נוספים הם בקומבינטוריקה, הצפנות ותורת המספרים וגם כמעין שעשוע אינטלקטואלי ליצירת סדרות ההולכות וגדלות במהירות תוך שימוש בספרות קטנות ככל האפשר ובמספר מועט ביותר של סימנים. שיטה אחת ידועה היא "מגדלי חזקות" רישום של מספרים בחזקת מספרים, תוך שימוש בצורות גיאומטריות או בשיטות אחרות בהן מגיעים לתוצאות גדולות תוך מעט מאד שלבים וסימנים.
בויקיפדיה ניתן למצוא עוד הרחבות על מספרים גדולים

יצחק פוגש את רבקה, ארט דה גלדר 1665 מוזיאון העיר בריסל Arent de Gelder

הדף הראשי לפרשת חיי שרה